Tiếp tuyến của đường cong phẳng

Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} tại x 0 {\displaystyle x_{0}} là hệ số góc của tiếp tuyến M 0 T {\displaystyle M_{0}T} của (C) tại điểm M 0 ( x 0 ; f ( x 0 ) ) {\displaystyle M_{0}(x_{0};f(x_{0}))} .Chứng minh:Giả sử ta có điểm M ( x 0 + Δ x ; f ( x 0 + Δ x ) 0 {\displaystyle M(x_{0}+\Delta x;f(x_{0}+\Delta x)0} là điểm di chuyển trên (C). Ta có M 0 H ¯ {\displaystyle {\bar {M_{0}H}}} = Δ x , H M ¯ = Δ y {\displaystyle \Delta x,{\bar {HM}}=\Delta y} Hệ số góc của cát tuyến M 0 M {\displaystyle M_{0}M} là t a n φ = H M ¯ M 0 H ¯ {\displaystyle tan\varphi ={\frac {\bar {HM}}{\bar {M_{0}H}}}} = Δ y Δ x {\displaystyle ={\frac {\Delta y}{\Delta x}}} Khi M dần tới M 0 {\displaystyle M_{0}} ( M ⟶ M 0 {\displaystyle M\longrightarrow M_{0}} ) thì Δ x → 0 {\displaystyle \Delta x\rightarrow 0} và ngược lại.Theo giả thiết, f(x) có đạo hàm tại x 0 {\displaystyle x_{0}} nên tồn tại giới hạn f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x {\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}} = lim M → M 0 t a n φ {\displaystyle \lim _{M\to M_{0}}tan\varphi } Vậy khi M ⟶ M 0 {\displaystyle M\longrightarrow M_{0}} thì cát tuyến M 0 M {\displaystyle M_{0}M} dần tới vị trí giới hạn là đường thẳng M 0 T {\displaystyle M_{0}T} , có hệ số góc bằng lim M → M 0 t a n φ = f ′ ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{M\to M_{0}}tan\varphi =f'(x_{0})} .Đường thẳng M 0 T {\displaystyle M_{0}T} là tiếp tuyến tại M 0 {\displaystyle M_{0}} của (C).Vậy f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} là hệ số góc của tiếp tuyến tại M 0 {\displaystyle M_{0}} của đồ thị (C)

Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm y=f(x) tại M 0 ( x 0 ; f ( x 0 ) ) {\displaystyle M_{0}(x_{0};f(x_{0}))} là y − y 0 = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})} trong đó y 0 = f ( x 0 ) {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})} .Điều này được rút ra từ tiếp tuyến đường cong phẳng.